Criterios de divisibilidad
Un número b es divisible por otro a cuando la división es
exacta.
Criterio de divisibilidad por 2
Un número es
divisible por 2, si termina en cero o cifra par.
Ejemplo:
24, 238, 1 024, ...
Criterio de divisibilidad por 3
Un número es divisible por 3,
si la suma de sus dígitos es múltiplo de 3.
Ejemplo:
564 
5 + 6 + 4 = 15 
15 es
múltiplo de 3
5 + 6 + 4 = 15 15 es
múltiplo de 3
2 040 2 + 0 + 4 + 0 = 6 6 es
múltiplo de 3
2 + 0 + 4 + 0 = 6 6 es
múltiplo de 3
Criterio de divisibilidad por 5
Un número es divisible por 5,
si termina en cero o cinco.
Ejemplo:
45, 515, 7 525, 230, ...
Números primos y compuestos
Nota:
esto es sólo para números enteros mayores que 1
Es decir: 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,... etc
Es decir: 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,... etc
Un número
primo se puede dividir exactamente sólo entre 1 y él mismo.
Un número
compuesto se puede dividir exactamente entre otros números además de 1
y él mismo.
(Así
que cualquier número entero mayor que 1 es primo o compuesto)
Ejemplos
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Número
|
Se puede dividir
exactamente entre |
¿Primo o
compuesto? |
|
1
|
(1 no es primo ni compuesto)
|
|
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2
|
1,2
|
Primo
|
|
3
|
1,3
|
Primo
|
|
4
|
1,2,4
|
Compuesto
|
|
5
|
1,5
|
Primo
|
|
6
|
1,2,3,6
|
Compuesto
|
|
7
|
1,7
|
Primo
|
|
8
|
1,2,4,8
|
Compuesto
|
|
9
|
1,3,9
|
Compuesto
|
|
10
|
1,2,5,10
|
Compuesto
|
Mínimo común
múltiplo
El número más pequeño (no cero) que es múltiplo de
dos o más números.
El
nombre de mínimo común múltiplo está hecho de las partes mínimo, común y múltiplo:
¿Qué es un "múltiplo"?
Los
múltiplos de un número son lo que tienes cuando lo multiplicas por
otros números (si lo multiplicas por 1,2,3,4,5, etc.) como en las
tablas de multiplicar.
Aquí tienes ejemplos:
Aquí tienes ejemplos:
|
Los
múltiplos de 3 son 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, etc...
|
|
Los
múltiplos de 12 son 12, 24, 36, 48, 60, 72, etc...
|
¿Qué es un "múltiplo común"?
Si
tienes dos (o más) números, y miras entre sus múltiplos y encuentras el mismo
valor en las dos listas, esos son los múltiplos comunes a
los dos números.
Por ejemplo, si escribes los múltiplos de dos números diferentes (digamos 4 y 5) los múltiplos comunes son los que están en las dos listas:
Por ejemplo, si escribes los múltiplos de dos números diferentes (digamos 4 y 5) los múltiplos comunes son los que están en las dos listas:
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Los múltiplos de 4 son 4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,...
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Los múltiplos de 5 son 5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,...
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¿Ves que 20 y 40 aparecen en las dos
listas? Entonces, los múltiplos comunes de 4 y 5 son: 20, 40 (y
60, 80, etc. también)
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¿Qué es el "mínimo común múltiplo"?
Es
simplemente el más pequeño de los múltiplos comunes. En el
ejemplo anterior, el menor de los múltiplos comunes es 20, así que el mínimo común
múltiplo de 4 y 5 es 20.
Calcular el mínimo común múltiplo
En
realidad es muy fácil de hacer. Sólo escribe los múltiplos de los números hasta
que encuentres uno que coincida.
Ejemplo 1: encuentra el mínimo común múltiplo de 3
y 5:
|
Los
múltiplos de 3 son 3, 6, 9, 15, ..., y los múltiplos de 5 son 5,
10, 15, 20, ...
|
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|
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Como
puedes ver en esta línea de números, el primer múltiplo que coincide es el
15. Respuesta: 15
|
Y
puedes calcular el mínimo común múltiplo de 3 (o más) números.
Ejemplo 2: calcula el mínimo común múltiplo de 4, 6
y 8
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Los
múltiplos de 4 son: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...
Los múltiplos de 6 son: 6, 12, 18, 24, 30, 36, ... Los múltiplos de 8 son: 8, 16, 24, 32, 40, ....
Entonces
24 es el mínimo común múltiplo de (¡no podemos encontrar uno más pequeño!)
|
Pista:
puedes hacer listas más pequeñas de los números más grandes.
Ver
video: http://www.youtube.com/watch?v=OsaX_IbhxNg
Divisor de
un número
Los
divisores de un número son aquellos valores que dividen al número en partes
exactas. Así, dado un número a, si la división
a/b es exacta (el resto es cero), entonces se dice que b
es divisor de a. También se puede
decir que a es divisible por b o que a
es un múltiplo de b. Esto nos resulta
útil, por ejemplo, a la hora de agrupar una cantidad de objetos en partes
iguales sin que nos sobre ninguno.
Por ejemplo, tenemos 36 bolígrafos y queremos hacer paquetes de modo que no sobre ninguno. Como los divisores de 36 son 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36, podemos hacer paquetes de esas cantidades. Con cualquier otro valor nos quedarían bolígrafos sueltos (si hacemos paquetes de 5 en 5, nos sobraría un bolígrafo).
Lógicamente, el 1 siempre es divisor de cualquier número, porque siempre podemos hacer paquetes individuales y no nos sobrará ninguno. De igual forma, todo número es divisible por sí mismo, lo que equivaldría a hacer un único paquete.
Por ejemplo, tenemos 36 bolígrafos y queremos hacer paquetes de modo que no sobre ninguno. Como los divisores de 36 son 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36, podemos hacer paquetes de esas cantidades. Con cualquier otro valor nos quedarían bolígrafos sueltos (si hacemos paquetes de 5 en 5, nos sobraría un bolígrafo).
Lógicamente, el 1 siempre es divisor de cualquier número, porque siempre podemos hacer paquetes individuales y no nos sobrará ninguno. De igual forma, todo número es divisible por sí mismo, lo que equivaldría a hacer un único paquete.
Máximo común divisor.
El máximo común divisor de dos o
más números naturales (enteros positivos) es, como su nombre indica, el mayor
de los divisores comunes a dichos números.
Las abreviaturas empleadas para designar al Máximo Común Divisor
pueden ser, indistintamente, M.C.D.⇔ MCD o también m.c.d. ⇔ mcd
El método más sencillo e intuitivo para saber cúal es el máximo común divisor de varios números, consiste en calcular los divisores de cada número y, de los divisores comunes a dichos números, el mayor de ellos será su Máximo Común Divisor.
El método más sencillo e intuitivo para saber cúal es el máximo común divisor de varios números, consiste en calcular los divisores de cada número y, de los divisores comunes a dichos números, el mayor de ellos será su Máximo Común Divisor.
Máximo Común Divisor de 6, 12 y 18
Los divisores de 6 son ⇒ 1, 2, 3, 6
Los divisores de 12 son ⇒ 1, 2, 3, 4, 6, 12
Los divisores de 18 son ⇒ 1, 2, 3, 6, 9, 18
Los divisores comunes de 6, 12 y 18 son ⇒ 1, 2, 3, 6
Como el mayor es 6, el M.C.D. (6 , 12 , 18) = 6
Los divisores de 6 son ⇒ 1, 2, 3, 6
Los divisores de 12 son ⇒ 1, 2, 3, 4, 6, 12
Los divisores de 18 son ⇒ 1, 2, 3, 6, 9, 18
Los divisores comunes de 6, 12 y 18 son ⇒ 1, 2, 3, 6
Como el mayor es 6, el M.C.D. (6 , 12 , 18) = 6
Si dos números sólo tienen como divisor común el 1 decimos
que son Primos Entre Si, y entonces su Máximo Común Divisor es
igual a 1.
Otro procedimiento para calcular el máximo común divisor, más corto y que resulta más fácil de utilizar, es la factorización (descomposición en factores primos) de los números. Para ello, procederemos como sigue:
Otro procedimiento para calcular el máximo común divisor, más corto y que resulta más fácil de utilizar, es la factorización (descomposición en factores primos) de los números. Para ello, procederemos como sigue:
- Realizamos
la factorización de los números.
- Tomamos
todos los factores comunes elevados al menor exponente.
- El
M.C.D será el producto de los factores anteriores.
Máximo Común Divisor de 36, 84 y 120
Factorización de 36 = 2 x 2 x 3 x 3 = 22 x 32
Factorización de 84 = 2 x 2 x 3 x 7 = 22 x 3 x 7
Factorización de 120 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 23 x 3 x 5
Factores comunes, con menor exponente ⇒ 22 y 3
2 x 2 x 3 = 12, por tanto, el M.C.D. (36, 84, 120) = 12
Factorización de 36 = 2 x 2 x 3 x 3 = 22 x 32
Factorización de 84 = 2 x 2 x 3 x 7 = 22 x 3 x 7
Factorización de 120 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 23 x 3 x 5
Factores comunes, con menor exponente ⇒ 22 y 3
2 x 2 x 3 = 12, por tanto, el M.C.D. (36, 84, 120) = 12
Los números que no tiene ningún factor primo común
son Primos Entre Si, y su Máximo Común Divisor es igual a 1.
Por último, también podemos hallar el Máximo Común Divisor de dos números por el método de las divisiones sucesivas, conocido como algoritmo de Euclides. Este procedimiento es muy útil cuando los números son grandes.
Para hallar el Máximo Común Divisor de dos números procedemos como sigue:
Por último, también podemos hallar el Máximo Común Divisor de dos números por el método de las divisiones sucesivas, conocido como algoritmo de Euclides. Este procedimiento es muy útil cuando los números son grandes.
Para hallar el Máximo Común Divisor de dos números procedemos como sigue:
- Dividimos
el mayor por el menor, si el resto es cero, el divisor (el
menor) es el M.C.D de los dos números.
- Si
el resto no es cero, se divide nuevamente el divisor entre el
resto. Si el nuevo resto es cero, el último divisor (el
resto anterior) es el M.C.D.
- Si
el nuevo resto no es cero, seguimos haciendo lo mismo hasta conseguir un
resto igual a cero. El último divisor, el que nos da un resto
igual a cero, será el M.C.D de los números dados.
- Si
el último divisor, el que nos da resto cero, es igual a 1,
quiere decir que sólo tienen como divisor común el 1, es decir, son Primos
Entre Si, y su Máximo Común Divisor es igual a 1.
Máximo Común Divisor de 2310 y 98
2310 : 98 = 23 de cociente y 56 de 1er resto
98 : 56 = 1 de cociente y 42 de 2o resto
56 : 42 = 1 de cociente y 14 de 3er resto
42 : 14 = 3 de cociente y 0 de 4o resto
Como el divisor 14 nos da un resto igual cero,
es el M.C.D de los números dados.
M.C.D. (2310 , 98) = 14
2310 : 98 = 23 de cociente y 56 de 1er resto
98 : 56 = 1 de cociente y 42 de 2o resto
56 : 42 = 1 de cociente y 14 de 3er resto
42 : 14 = 3 de cociente y 0 de 4o resto
Como el divisor 14 nos da un resto igual cero,
es el M.C.D de los números dados.
M.C.D. (2310 , 98) = 14
Para que tengas más claro esto, ver el video del sig. enlace: http://www.youtube.com/watch?v=vYoeNS_LkzQ
